การคิดดอกเบี้ยทบต้น

โยฮันน์ แบร์นูลลีค้นพบค่า e {\displaystyle e} ในปี 1683 ในการศึกษาปัญหาเกี่ยวกับดอกเบี้ยทบต้น ลักษณะดังนี้:

หากทบทุก 6 เดือน จะได้สองครั้ง ครั้งละ 50% นั่นคือ 1 บาท ตอนแรกจะคูณ 1.5 สองครั้ง ได้ 1.52 = 2.25 บาท หากทบทุก 3 เดือนก็จะคูณ 1.25 สี่ครั้ง ได้ 1.254 = 2.44140625 บาท หากทบรายเดือนก็จะได้ (1+1/12)12 = 2.613035... บาท และยิ่งถี่ขึ้นก็จะได้เงินมากขึ้นไปอีก โดยถ้าทบต้น n {\displaystyle n} ครั้งต่อปี จะได้ดอกเบี้ยครั้งละ 100 % / n {\displaystyle 100\%/n} และเมื่อจบปีก็จะมีเงิน ( 1 + 1 / n ) n {\displaystyle (1+1/n)^{n}} บาท

แบร์นูลลีสังเกตว่าการเพิ่มขึ้นเมื่อทบต้นถี่ขึ้นนี้มีขีดจำกัด โดยเมื่อทบต้นอย่างต่อเนื่องจะมีเงินเมื่อจบปีมากที่สุดที่เป็นไปได้ด้วยดอกเบี้ยอัตรานี้นั่นก็คือ ค่า e {\displaystyle e} นั่นเอง ในทำนองเดียวกัน บัญชีใด ๆ ที่เริ่มต้นด้วยเงิน N {\displaystyle N} บาท และได้ดอกเบี้ยอย่างต่อเนื่องด้วยอัตรา 100 R % {\displaystyle 100R\%} ต่อปี จะมีเงินจำนวน N e R t {\displaystyle Ne^{Rt}} เมื่อเวลาผ่านไป t {\displaystyle t} ปี

แคลคูลัส

หนึ่งในความสำคัญของการนิยามค่า e {\displaystyle e} คือการนำไปใช้ในการหาอนุพันธ์หรือปริพันธ์ของฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม โดยเมื่อพยายามคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y = a x {\displaystyle y=a^{x}} จากนิยามของอนุพันธ์

d d x a x = lim h → 0 a x + h − a x h = lim h → 0 a x a h − a x h = a x ⋅ ( lim h → 0 a h − 1 h ) . {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}a^{x}&=\lim _{h\to 0}{\frac {a^{x+h}-a^{x}}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {a^{x}a^{h}-a^{x}}{h}}\\&=a^{x}\cdot \left(\lim _{h\to 0}{\frac {a^{h}-1}{h}}\right).\end{aligned}}}

จะสังเกตได้ว่าลิมิตในวงเล็บไม่ขึ้นกับ x {\displaystyle x} แต่ขึ้นกับฐาน a {\displaystyle a} เพียงอย่างเดียว โดยที่ e {\displaystyle e} คือจำนวนที่ทำให้ลิมิตนี้เป็น 1 สอดคล้องกับสมบัติที่ว่า

d d x e x = e x {\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}}

e จึงเป็นฐานที่เหมาะสมต่อการทำแคลคูลัส เพราะเมื่อเลือกใช้เป็นฐานแล้วทำให้ง่ายต่อการคำนวณอนุพันธ์

ในทำนองเดียวกัน หากพยายามคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y = log a ⁡ x {\displaystyle y=\log _{a}x} จะได้

d d x log a ⁡ x = lim h → 0 log a ⁡ ( x + h ) − log a ⁡ ( x ) h = lim h → 0 log a ⁡ ( 1 + h / x ) x ⋅ h / x = 1 x log a ⁡ ( lim n → 0 ( 1 + 1 n ) n ) = 1 x log a ⁡ e , {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\log _{a}x&=\lim _{h\to 0}{\frac {\log _{a}(x+h)-\log _{a}(x)}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {\log _{a}(1+h/x)}{x\cdot h/x}}\\&={\frac {1}{x}}\log _{a}\left(\lim _{n\to 0}(1+{\frac {1}{n}})^{n}\right)\\&={\frac {1}{x}}\log _{a}e,\end{aligned}}}

โดย n = x / h {\displaystyle n=x/h}

ดังนั้นถ้าแทน a {\displaystyle a} เป็น e {\displaystyle e} จะได้ว่าลอการิทึมในผลเป็น 1 ดังนั้น

d d x log e ⁡ x = 1 x {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\log _{e}x={\frac {1}{x}}}

ลอการิทึมฐาน e {\displaystyle e} นี้เรียกว่าลอการิทึมธรรมชาติและตามปกติเขียนแทนด้วย ln {\displaystyle \ln } ดังนั้นจึงเห็นได้เช่นเดียวกันว่า e {\displaystyle e} เป็นฐานที่สะดวกต่อแคลคูลัส

จากคุณสมบัติที่ ln ⁡ x {\displaystyle \ln x} มี 1 / x {\displaystyle 1/x} เป็นอนุพันธ์ นำไปสู่วิธีนิยาม e {\displaystyle e} อีกวิธีคือ

∫ 0 e d t t = 1 {\displaystyle \int _{0}^{e}{\frac {dt}{t}}=1}

ทฤษฎีจำนวน

e {\displaystyle e} เป็นจำนวนอตรรกยะและอดิศัย นั่นแปลว่า e {\displaystyle e} ไม่สามารถเขียนเป็นเศษส่วนที่เศษและส่วนเป็นจำนวนเต็มได้ และไม่เป็นคำตอบของพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม ออยเลอร์เป็นคนแรกที่พิสูจน์ว่า e {\displaystyle e} เป็นจำนวนอตรรกยะ โดยการแสดงว่า e {\displaystyle e} เขียนเป็นเศษส่วนต่อเนื่องอนันต์ได้[3] สำหรับการที่ e {\displaystyle e} เป็นจำนวนอดิศัยนั้นเป็นผลโดยตรงจากทฤษฎีบทลินเดอมาน-ไวเออร์ชตราส โดยผู้พิสูจน์ครั้งแรกว่า e {\displaystyle e} เป็นจำนวนอดิศัยคือชาลส์ แอร์มิต

จำนวนเชิงซ้อน

ในระบบจำนวนจริง ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล e x {\displaystyle e^{x}} สามารถเขียนเป็นอนุกรมเทย์เลอร์ได้เป็น

e x = ∑ n = 0 ∞ x n n ! = 1 + x 1 ! + x 2 2 ! + x 3 3 ! + . . . {\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+{\frac {x}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+...}

ซึ่งอนุกรมนี้คงคุณสมบัติหลายประการของ e x {\displaystyle e^{x}} ไว้ในระนาบเชิงซ้อน จึงถือเป็นนิยามของฟังก์ชัน e x {\displaystyle e^{x}} สำหรับจำนวนเชิงซ่้อนใด ๆ

จากการเทียบเคียงสมการนี้กับอนุกรมของ sin ⁡ x {\displaystyle \sin x} และ cos ⁡ x {\displaystyle \cos x} นำไปสู่สูตรของออยเลอร์ e i x = cos ⁡ x + i sin ⁡ x {\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x} (ซึ่งมีเอกลักษณ์ออยเลอร์ e i π + 1 = 0 {\displaystyle e^{i\pi }+1=0} เป็นกรณีพิเศษที่ x = π {\displaystyle x=\pi } ) เมื่อนำสูตรของออยเลอร์ไปยกกำลังจะได้ทฤษฎีบทเดอมัวร์ ( cos ⁡ x + i sin ⁡ x ) n = ( e i x ) n = e i n x = cos ⁡ n x + i sin ⁡ n x {\displaystyle (\cos x+i\sin x)^{n}=(e^{ix})^{n}=e^{inx}=\cos {nx}+i\sin {nx}}

ความน่าจะเป็น

ในวิชาความน่าจะเป็น พบ e {\displaystyle e} ในปัญหาเกี่ยวกับการสลับคู่ ดังนี้[4]: สมมุติว่ามีแขกร่วมงานเลี้ยง n {\displaystyle n} คน เดินเข้าประตูมาแล้วฝากหมวกของตนเองไว้กับคนใช้ ซึ่งนำหมวกเหล่านี้ไปใส่ในกล่อง n {\displaystyle n} ใบ โดยกล่องแต่ละใบมีชื่อของแขกแต่ละคน แต่คนใช้ไม่ทราบชื่อของแขกแต่ละคน จึงนำหมวกเหล่านี้ใส่ในกล่องอย่างสุ่ม ความน่าจะเป็นที่ไม่มีหมวกใบไหนเลย ที่อยู่ในกล่องที่ถูกต้อง คิดเป็น

p n = 1 − 1 1 ! + 1 2 ! − 1 3 ! + . . . = ∑ k = 0 n ( − 1 ) k k {\displaystyle p_{n}=1-{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}-{\frac {1}{3!}}+...=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k}}}

ซึ่งเมื่อจำนวนแขก n {\displaystyle n} เพิ่มสู่อนันต์แล้ว ความน่าจะเป็นนี้จะลู่เข้าหา 1 / e {\displaystyle 1/e}

การประมาณของสเตอร์ลิง

e {\displaystyle e} ใช้ในการประมาณค่าของแฟกตอเรียลของจำนวนค่ามากได้ตามสูตร

n ! ∼ 2 π n ( n e ) n {\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}

ซึ่งแปลว่า

e = lim n → ∞ n n ! n {\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}}

สถิติ

การแจกแจงปรกติมีสูตรว่า

f ( x ) = 1 2 π σ e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 {\displaystyle f(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}

เมื่อ σ {\displaystyle \sigma } เป็นส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานและ μ {\displaystyle \mu } เป็นค่าเฉลี่ย